Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

n

ной, если она может быть представлена в виде суммы функций, каж- дая из которых является функцией одной переменной, т.е. если

F(x₁, x₂,..., x_n)  _f_j(x_j).

j1

Если целевая функция и функции в системе ограничений задачи нелинейного программирования являются сепарабельными, то при- ближенное решение такой задачи можно найти с использованием ме- тода кусочно-линейной аппроксимации. Однако его применение в об- щем случае позволяет получить приближенный локальный экстремум. Поэтому рассмотрим использование метода кусочно-линейной ап- проксимации для решения задачи выпуклого программирования.

Метод кусочно-линейной аппроксимации

Пусть требуется определить максимальное значение вогнутой функции

при условиях:

F _f_j(x_j)

j1

n

(1.31)

_g_ij(x_j)  b_i

j1

(i 1,...,m),

(1.32)

x_j 0 ( j

 1,...,n).

(1.33)

Чтобы найти решение задачи (1.31…1.33), заменим функции

 

^fj⁽^x^j^),^gij⁽^x^j⁾^{кусочно}^-^{линейными}^{функциями}^fj⁽^xj^),^g^ij⁽^x^j⁾^и^перей^-

дем от задачи (1.31…1.33) к задаче, состоящей в определении макси- мального значения функции

n_

при условиях:

^F^_^fj⁽^xj⁾

j1

n_

(1.34)

_g_ij(x_j)  b_i

j1

(i 1,...,m),

(1.35)

x_j 0 ( j

 1,...,n).

(1.36)

В задаче (1.34...1.36) пока не определен вид функций. Чтобы оп-

ределить его, будем считать, что переменная x_j

может принимать

значения из промежутка [0;a_j] , где a_j

максимальное значение пере-

менной x_j. Разобьем промежуток [0; a_j]

на r_jпромежутков с помощью

 

r_j 1 точек так, что

^x0 j

 0, x_rjj

 a_j.

Тогда функции

^fj⁽^xj^),

g_ij(x_j)

мож-

но записать в виде

_r_j_r_j

где

^fj⁽^x^j⁾^_^^kjfkj^;

k0

^gij⁽^xj⁾^^^kj^gkij^,

k0

(1.37)

r_jr_j

^fkj

 f_j(x_k);

^gkij

 g_ij(x_k) (i

 1,...,m);

(1.38)

^xj^^^kj^xkj^,

k0

^^kj k0

 1,

_kj 0

для всех kи

^j^,причем для данного x_j

не более двух чисел соседними.

^kj

могут быть положительными и должны быть


^{Подставляя}^теперь^в^(1.34^и^1.35)^{выражения}^{функций}^fj⁽^xj^),



g_ij(x_j) в соответствии с формулами (1.37), получаем следующую за-

дачу. Найти максимальное значение функции

_n ^rj

при условиях

n ^rj

^F^^^fkj^kjj1 k0

(1.39)

^^gkij^kjj1 k0

r_j

 b_i

(i 1,...,m);

(1.40)

^^kj k0

 1 ( j

 1,...,n);

(1.41)

_kj 0

для всех kи ^j^.

(1.42)

Полученная задача отличается от обычной задачи линейного про-

граммирования тем, что на переменную

^kj

наложено дополнительное

ограничение, состоящее в том, чтобы для каждого jне более двух

^kj

были положительными и эти положительные

^kj

были соседними. Вы-

полнение этих условий может быть соблюдено при решении задачи (1.39…1.42) симплексным методом за счет соответствующего выбора базиса, определяющего как каждый опорный, так и оптимальный планы данной задачи. При этом в общем случае точность полученного реше-

ния зависит от принятого шага разбиения промежутка [0; a_j].

меньше шаг, тем более точным является полученное решение.

Чем

Таким образом, процесс нахождения решения задачи нелинейно- го программирования методом кусочно-линейной аппроксимации включает в себя следующие этапы:

каждую из сепарабельных функций заменяют кусочно-линейной функцией;
строят задачу линейного программирования (1.39…1.42);
с помощью симплексного метода находят решение задачи (1.39…1.42) и вычисляют значение целевой функции при этом плане;
определяют оптимальный план задачи (1.39…1.42) и вычисляют значение целевой функции при этом плане.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 42

Смотрите также файлы

Протокол от 31. 05. 22г. Т. А. Сажина Согласовано заместителем директора по увр.. 2022 г.docx

2. финансовый анализ на примере коммерческого банка паосбербанк 1 организационная характеристика пао сбербанк.docx

Слайд бихевиоризм (от англ behavior поведение) направление в американской психологии, утвердившее ее предметом поведение, понимаемое как совокупность объективных реакций на внешние стимулы и не требующее для своего объяснения обращения к психическим явлен.docx

Угольный фильтр Ионообменный фильтр.docx

Реабилитация пациентов с острой и хронической цереброваскулярной недостаточностью.docx

Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

Метод кусочно-линейной аппроксимации

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно